Costurando um perceptron à mão
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Clube do Livro UAN
2025-02-20
Para aquecer …
GOODFELLOW, Ian; BENGIO, Yoshua; COURVILLE, Aaron. Deep Learning. Cambridge: MIT Press, 2016. Disponível em: http://www.deeplearningbook.org.
- Vocês leram, né? 🤭
Modelos
Representação simplificada da realidade
“Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis.”
- Modelos matemáticos, físicos, conceituais, estatísticos, computacionais, etc…
Regressão linear
Mapeia entrada -> saída
\(y = w x + b\)
-
- Multiplicação de matrizes
- Limitação: Não captura relações complexas
Regressão linear
E a regressão logística?
Já incorpora uma função de ligação.
Mapeia a entrada para uma probabilidade
Função de ligação logit \(\phi(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\)
RNA e não linearidade
Superar as limitações de funções lineares
Também usa multiplicação de matrizes + funções de ativação não lineares.
- (Multilayer) perceptron
- Feedforward
Aproximar uma função \(y = f(x)\) com \(y = f(x, \theta)\) aprendendo \(\theta\) que melhor aproximação da função
Requer escolher a forma de otimização, função de custo, e função de saída
Teorema Aproximação Universal
Uma rede neural com uma única camada oculta contendo neurônios suficientes pode aproximar qualquer função contínua em um intervalo fechado, com uma função de ativação adequada.
Representation Learning
- Rede composta de funções \(f(x) =f^{(3)}(f^{(2)}(f^{(1)}(x)))\).
O que vamos representar hoje…
\[\begin{align*} X_j & \sim \text{Uniforme}(-3, 3), \quad j=1, 2.\\ Y & \sim N(\mu, \sigma=1) \\ \mu & = |X_1^3 - 30 \text{ sen} (X_2) + 10| \\ \end{align*}\]Superfície
Arquitetura da rede
Algebricamente
\[\begin{align*} h_1 & = \phi(x_1 w_1 + x_2 w_3 + b_1) = \phi(a_1) \\ h_2 & = \phi(x_1 w_2 + x_2 w_4 + b_2) = \phi(a_2) \\ \hat{y} & = h_1 w_5 + h_2 w_6 + b_3, \end{align*}\]onde \(\phi(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\) representa a função de ativação logística (sigmoide).
\(f(x_{1i}, x_{2i}; \mathbf{\theta})=\hat{y}_i=\phi(x_{1i} w_1 + x_{2i} w_3 + b_1) w_5 + \phi(x_{1i} w_2 + x_{2i} w_4 + b_2) w_6 + b_3.\)
Matricialmente
\[\begin{align*} \mathbf{a} & = \mathbf{W}^{(1)\top} \mathbf{x} + \mathbf{b}^{(1)} \\ \mathbf{h} & = \phi(\mathbf{a}) \\ \hat{y} & = \mathbf{W}^{(2)\top} \mathbf{h} + b_3, \end{align*}\]onde
\(\mathbf{W}^{(1)}=\)
\[\begin{pmatrix} w_1 & w_2 \\ w_3 & w_4 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{W}^{(2)}=\)
\[\begin{pmatrix} w_5 \\ w_6 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{b}^{(1)}=\)
\[\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{x}=\)
\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{h}=\)
\[\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{a}=\)
\[\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\]Feed forward
Feed forward
## sigmoide
phi <- function(x){
1/(1 + exp (-x))
}
foward_prop <- function(theta, x){
W1 <- matrix(c(theta[1], theta[2], theta[3], theta[4]), 2, 2, byrow=T)
W2 <- matrix(c(theta[5],theta[6]), 2, 1, byrow=T)
b <- c(theta[7], theta[8])
a <- t(W1)%*%x + b
h <- phi(a)
y_hat <-t(W2)%*%h + theta[9]
return(as.numeric(y_hat)) }Função de perda
\[ J(\mathbf{\theta}) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m L(f(x_{1i}, x_{2i}; \mathbf{\theta}), y_i) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (y_i - \hat{y}_i)^2, \] onde \(x_{ji}\) representa a \(j\)-ésima covariável (feature) da \(i\)-ésima observação, \(\mathbf{\theta} = (w_1, \ldots, w_6, b_1, b_2, b_3)\) é o vetor de pesos (parâmetros).
Split
Gradiente descendente
Otimizar pelo MSE equivale à máxima verossimilhança para distribuições Gaussianas.
Não tem convergência garantida como com funções não convexas.
Sensível aos valores de inicialização
Gradiente descendente
Mínimos locais e globais
Inicialização
Back propagation
Durante o treinamento, a propagação direta continua até produzir um escalar de custo ( \(J(\theta)\) ).
O objetivo é calcular o gradiente da função de custo em relação aos parâmetros da rede. \(\nabla_{\theta} J(\theta)\)
A equação analítica do gradiente é simples, mas sua avaliação numérica pode ser computacionalmente cara.
O backpropagation oferece um procedimento simples e eficiente para esse cálculo.
Back propagation: mitos
Não é um algoritmo de aprendizado completo: Ele apenas calcula o gradiente, enquanto outro algoritmo (ex.: descida do gradiente estocástica) usa esse gradiente para atualizar os pesos.
Não é exclusivo de redes neurais profundas: Ele pode ser aplicado para calcular derivadas de qualquer função, desde que a derivada seja bem definida.
Regra da cadeia
- A regra da cadeia no cálculo é usada para calcular derivadas de funções compostas.
- O backpropagation a aplica para calcular o gradientes.
- Segue uma ordem específica de operações para garantir eficiência computacional e evitar a explosão exponencial de cálculos redundantes.
- O algoritmo de backpropagation é projetado para reduzir o número de subexpressões repetidas, sem priorizar o uso de memória.
Regra da Cadeia no Back propagation
Back - propagation
Use a regra da cadeia para encontrar expressões algébricas para o vetor gradiente\[\nabla_\theta J(\theta) = \left(\frac{\partial J}{\partial w_1}, \ldots, \frac{\partial J}{\partial b_3} \right)\]
\[\nabla J_\theta = \sum_{i=1}^m(\frac{\partial J}{\partial \hat{y}_i} \nabla_\theta \hat{y}_i)\]
Então, para cada observação, temos que o primeiro elemento desse produto é o escalar:
\[\frac{\partial J}{\partial \hat{y}_i} = -2 ( y_i - \hat{y_i})\] Já o segundo elemento desse produto é, no caso dessa rede, um vetor de tamanho 9 onde:
Para o nono elemento (terceiro viés):
\(f(x_{1i}, x_{2i}; \mathbf{\theta})=\hat{y}_i=\phi(x_{1i} w_1 + x_{2i} w_3 + b_1) w_5 + \phi(x_{1i} w_2 + x_{2i} w_4 + b_2) w_6 + b_3.\)
\[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial b_3} = 1\]
Para os pesos da cama de saída: \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_6} = \frac{1}{1+e^{-a_2}}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_5} = \frac{1}{1+e^{-a_1}}\]
Onde \(a_1 = x_1w_1 + x_2w_3 + b_1\) e \(a_2 = x_1w_2 + x_2w_4 + b_2\)
Para os vieses da camada intermediária
\[ \frac{\partial \hat{y_i}}{\partial b_2} = w_6\frac{e^{-a_2}}{(1+e^{-a_2})^2} \]
\[ \frac{\partial \hat{y_i}}{\partial b_1} = w_5\frac{e^{-a_1}}{(1+e^{-a_1})^2} \]
Para os pesos entre a camada de entrada e a intermediária:
\[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_4} = w_6\frac{e^{-a_2}}{(1+e^{-a_2})^2}x_{2i}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_3} = w_5\frac{e^{-a_1}}{(1+e^{-a_1})^2}x_{2i}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_2} = w_6\frac{e^{-a_2}}{(1+e^{-a_2})^2}x_{1i}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_1} = w_5\frac{e^{-a_1}}{(1+e^{-a_1})^2}x_{1i}\]
Algoritmo
Back - propagation
phi_linha <- function(x){
exp(-x)/(1+exp(-x))^2}
gradiente <- function (theta, x, y ){
n <- length(y)
W1 <- matrix(c(theta[1:4]), 2, 2, byrow=T)
W2 <- matrix(c(theta[5:6]), 2, 1, byrow=T)
b <- c(theta[7], theta[8])
a <- t(W1)%*%t(x) + b
h <- phi(a)
y_hat <- t(W2)%*%h + theta[9]
y_hat <- as.numeric(y_hat)
# derivada da perda
d_Jota<- -2*(y-y_hat)
# vies 2 camada (saida)
grad_b3 <- mean(d_Jota *1)
# pesos 2 camada
grad_W2camada <- d_Jota * t(h)
grad_w6 <- mean(grad_W2camada[,2] )
grad_w5<- mean(grad_W2camada[,1])
# primeira camada
hlinha <- t(phi_linha(a))
W_2camada_vetorial <- cbind(rep(W2[1], n ),rep(W2[2], n ) )
# vieses 1 camada
grad_b <- d_Jota * W_2camada_vetorial * hlinha
grad_b2 <- mean(grad_b[,2])
grad_b1 <- mean(grad_b[,1])
# pesos primeira camada
grad_W4_3 <- grad_b * x[,2]
grad_W2_1 <- grad_b * x[,1]
grad_w4 <- mean(grad_W4_3[,2])
grad_w3 <- mean(grad_W4_3[,1])
grad_w2 <- mean(grad_W2_1[,2])
grad_w1 <- mean(grad_W2_1[,1])
c(grad_w1, grad_w2, grad_w3,
grad_w4, grad_w5, grad_w6,
grad_b1, grad_b2, grad_b3 )
}Cáculo
Fitting
otimizacao <- function(iteracoes=100, # default assim, mas pode mudar
theta_inicial=rep(0,9),
x_treino, y_treino,
x_teste=x_treino,
y_teste=y_treino,
LR = 0.1){
# não sei se precisava disso, mas achei melhor ir salvando os resultados
# intermediários em uma lista
Perdas_treino<- numeric()
Perdas_teste <- numeric()
Perdas <- list()
Gradientes <- list()
Previsoes <- list()
Parametros <- list()
Parametros[[1]] <- theta_inicial
for (i in 2:(iteracoes+1)){
Gradientes[[i-1]] <- gradiente(Parametros[[i-1]], x_treino , y_treino)
Parametros[[i]] <- Parametros[[i-1]] - LR*(Gradientes[[i-1]])
previsoes_treino <-foward_prop(Parametros[[i-1]], t(x_treino))
previsoes_teste <- foward_prop(Parametros[[i-1]], t(x_teste))
Perdas_treino[i-1] <- custo(y_treino, previsoes_treino)
Perdas_teste[i-1] <- custo(y_teste, previsoes_teste)
#i <- i+1
}
Perdas <- tibble(Perdas_treino,Perdas_teste)
list(Gradientes=Gradientes,theta=Parametros,
J_treino=Perdas_treino, J_teste=Perdas_teste,
J= Perdas)
}
## ESSA PARTE É SE QUISER FAZER SÓ EM UM DOS GRUPOS
so_treino <- otimizacao(x_treino=covariaveis_treino,
y_treino=observacao_treino )
so_teste <- otimizacao(x_treino=covariaveis_teste,
y_treino=observacao_teste)
# GRADIENTE CALCULADO NO TREINO, MAS PERDA NO TESTE TAMBÉM
treino_teste <- otimizacao(x_treino=covariaveis_treino,
y_treino=observacao_treino,
x_teste=covariaveis_teste,
y_teste=observacao_teste )
minimo <- which(treino_teste$J$Perdas_teste==min(treino_teste$J$Perdas_teste))
theta_ajustado <- treino_teste$theta[[minimo]]Ao final …
Previsões
Gradiente descendente estocástico
Gradiente descendente estocástico
rapidez <- microbenchmark(
gradiente(theta, matrix(covariaveis_treino[1:300,],300,2 ), observacao_treino[1:300]),
gradiente(theta,matrix(covariaveis_treino[1:n_treino,],n_treino,2 ), observacao_treino[1:n_treino])
)
rapidezUnit: microseconds
expr
gradiente(theta, matrix(covariaveis_treino[1:300, ], 300, 2), observacao_treino[1:300])
gradiente(theta, matrix(covariaveis_treino[1:n_treino, ], n_treino, 2), observacao_treino[1:n_treino])
min lq mean median uq max neval
58.753 63.9395 84.91182 89.6055 100.5115 139.113 100
8565.433 9259.8705 10685.77424 9515.5260 11697.7100 23407.105 100Regressão Linear
\(Y_i = N(\beta_0 + \beta_{1}x_{1i}+ \beta_3x_{2i}, \sigma)\)
- incluíndo mais covariáveis
\(E(Y|x_1, x_2) = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2+\beta_3x_1^2 + \beta_4x_2^2 + \beta_5x_1x_2\)
Avaliando os modelos …
Regressão linear
`
Avaliando os modelos …
“Redezinha”
Avaliando os modelos …
“Redezona”
